数学逻辑术语和定义

重言式

重言式是一个对命题变量的每个值始终正确的公式。

示例-证明[（A→B）∧A]→B是重言式

真值表如下-

我们可以看到[（A→B）∧A]→B的每个值都是“ True”，这是一个重言式。

矛盾之处

矛盾是对于命题变量的每个值始终为假的公式。

示例-证明（A∨B）∧[（¬A）∧（¬B）]是矛盾的

真值表如下-

如我们所见，每个A∨B）∧[（¬A）∧（¬B）]的值都是“ False”，这是一个矛盾。

偶然性

权变是一个公式，它的命题变量的每个值都有一些真值和一些假值。

示例-证明（A∨B）∧（¬A）意外情况

真值表如下-

如我们所见，每个A∨B）∧（¬A）的值都具有“ True”和“ False”，这是一种偶然性。

命题对等

如果以下两个条件中的任何一个成立，则两个语句X和Y在逻辑上是等效的-

• 每个语句的真值表具有相同的真值。

• 双条件语句X⇔Y是重言式。

示例-证明¬（A∨B）和[（¬A）∧（¬B）]是等效的

通过^第一种方法进行测试（匹配真值表）

在这里，我们可以看到¬（A∨B）和[（¬A）∧（¬B）]的真值是相同的，因此这些语句是等效的。

通过^第二种方法进行测试（双条件）

因为[¬（A∨B）]⇔[(A)）(B)]是重言式，所以这些语句是等效的。

逆，逆和反正

隐含/ if-then（→）也称为条件语句。它分为两部分-

• 假设，p

• 结论，q

如前 ，它表示为p→q。

条件陈述示例-“如果您做作业，您将不会受到惩罚。” 在这里，“你做功课”是假设p，“你不会受到惩罚”是结论q。

逆-条件陈述的逆是对假设和结论的否定。如果语句是“如果p，则q”，则反之将是“如果不是p，则q”。因此，p→q的倒数是¬p→¬q。

示例-“如果您不做作业，您将不会受到惩罚”的反面是“如果您不做作业，您将受到惩罚。”

相反-通过互换假设和结论来计算条件陈述的相反。如果语句为“如果p，则q”，则相反为“如果p，则p”。p→q的逆是q→p。

示例-“如果您不做作业，就不会受到惩罚”的反义词是“如果您不做作业，就可以使您做作业”。

魂斗罗阳性-有条件的禁忌正被交换的假设和逆声明的结论来计算。如果陈述是“如果p，则q”，则对立为“如果不是q，则p”。p→q的对位为¬q→¬p。

示例-“如果您做家庭作业，您将不会受到惩罚”的反正数是“如果您受到处罚，您没有进行家庭作业”。

对偶原理

对偶性原则指出，对于任何真陈述，通过将并集交换为交集（反之亦然）并将通用集交换为空集（反之亦然）而获得的对偶陈述也是正确的。如果任何陈述的对偶就是陈述本身，则称其为自我对偶陈述。

示例-（A∩B）∪C的对偶是（A∪B）∩C

正规表格

我们可以将任何命题转换为两种正常形式-

• 合取范式

• 析取范式

合取范式

如果复合语句是通过在与OR关联的变量（包括变量的否定）之间进行“与”运算而获得的，则该语句为合取范式。就集合运算而言，它是由与联合相关的变量之间的交集获得的复合语句。

例子

• （A∨B）∧（A∨C）∧（B∨C∨D）

• （P∪Q）∩（Q∪R）

析取范式

如果复合语句是通过与AND连接的变量（包括变量的否定）之间进行或运算而获得的，则该语句为合取范式。就集合运算而言，它是由Union在与交集相关的变量之间获得的复合语句。

例子

• （A∧B）∨（A∧C）∨（B∧C∧D）

• （P∩Q）∪（Q∩R）