算法 - 树的定义和性质

树是代表各个元素或节点之间的层次关系的离散结构。 父级不超过两个子级的树称为二叉树。

树及其属性

定义-树是一个连通的无环无向图。G中的每对顶点之间都有一条唯一的路径。顶点数为N的树包含(N-1)个边。0度的顶点称为树的根。1度顶点称为树的叶节点，内部节点的度至少为2。

示例-以下是树的示例-

一棵树的中心和双中心

一棵树的中心是一个偏心率最小的顶点。树G中顶点X的偏心度是顶点X与树的任何其他顶点之间的最大距离。最大偏心距是树的直径。如果一棵树只有一个中心，则称为“中心树”；如果一棵树只有一个以上的中心，则称为“双中心树”。每棵树都可以是中心树或中心树。

标记树

定义-标记树是指为其顶点分配1到n唯一编号的树。我们可以手工为n的较小值计数这些树，从而推测出一个通用公式。具有n个顶点的标记树的数量为n ^n-2。如果两个标记树的图是同构的，并且两个树的对应点具有相同的标记，则它们是同构的。

示例

未贴标签的树木

定义-无标签树是指其顶点未分配任何数字的树。n个顶点的标记树的数量为$\ frac {(2n)！} {（n + 1）！n！} $（^第n^个加泰罗尼亚语数字）

示例

根树

根树G是具有特殊节点的连接的无环图，该特殊节点称为树的根，每个边直接或间接地起源于该根。有序的有根树是每个内部顶点的子级都有序的有根树。如果根树的每个内部顶点都具有不超过m个子节点，则称为m元树。如果根树的每个内部顶点都恰好有m个子树，则称其为完整的m元树。如果m = 2，则将根树称为二叉树。

二进制搜索树

二进制搜索树是满足以下属性的二进制树-

• 顶点V的左子树中的X，值(X)≤值(V)

• 顶点V的右子树中的Y，值(Y)≥值(V)

因此，内部节点V的左子树的所有顶点的值均小于或等于V，内部节点V的右子树的所有顶点的值均大于或等于V.从根节点到最深节点的链接数是二进制搜索树的高度。

示例

在BST中搜索密钥的算法

BST_Search(x, k)
if ( x = NIL or k = Value[x] )
   return x;
if ( k < Value[x])
   return BST_Search (left[x], k);
else
   return BST_Search (right[x], k)

二叉搜索树的复杂度