集的功能

一个功能分配给集合的每个元素，恰好是相关集合的一个元素。函数可以在各种领域中找到其应用，例如表示算法的计算复杂性，计算对象，研究序列和字符串等等。本部分的第三章也是最后一章重点介绍了功能的重要方面。

功能-定义

函数或映射（定义为f：X→Y）是从一组X的元素到另一组Y（X和Y是非空集）的元素的关系。X称为功能域，Y称为功能“ f”的共域。

函数'f'是X和Y的关系，因此对于每个x ∊ X，都存在唯一的y ∊ Y，使得(x,y)∊R。'x'被称为原像，而'y'被称为功能f的图像。

一个功能可以是一对一或多对一，但不能一对多。

内射/一对一功能

函数f：如果每个b ∊ B最多存在一个a ∊ A使得f(s)= t，则f：A→B是单射函数或一对一函数。

这意味着，如果₁ ≠a ₂意味着f(a1)≠f(a2)，则函数f是内射的。

示例

• f：N→N，f(x)= 5x是单射的。

• f：N→N，f(x)= x ²是单射的。

• f：R→R，f(x)= x ²并不是单射的，因为(-x)² = x ²

上位词/本体功能

函数f：如果f的图像等于其范围，则A→B是射影（上）。等效地，对于每一个b ∊ B，都有一些a ∊ A使得f(a)= b。这意味着对于B中的任何y，A中都存在一些x，使得y = f(x)。

示例

• f：N→N，f(x)= x + 2是射影。

• f：R→R，f(x)= x ²并不是排斥的，因为我们找不到平方为负的实数。

双射/一对一通讯员

函数f：当且仅当f同时是内射和外射时，A→B是双射或一对一对应。

问题

证明由f(x)= 2x – 3定义的函数f：R→R是双射函数。

说明-我们必须证明此功能既是内射的又是射词的。

如果f（x ₁）= f（x ₂），则2x ₁ – 3 = 2x ₂ – 3意味着x ₁ = x ₂。

因此，f是单射的。

在这里，2x – 3 = y

因此，x =（y + 5）/ 3，属于R且f(x)= y。

因此，f是射影。

由于f既是形容词也是内射词，我们可以说f是双射词。